逻辑代数（又称布尔代数）是研究逻辑函数运算和化简的一种数学系统，逻辑函数的运算和化简是数字电路课程的基础，也是数字电路分析和设计的关键。

一、基本概念

（1）逻辑常量与变量。逻辑常量只有两个，即 0 和 1，用来表示两个对立的逻辑状态。逻辑变量与普通代数一样，也可以用字母、符号、数字及其组合来表示，但它们之间有着本质区别，因为逻辑变量的取值只有两个，即 0 和 1，而没有中间值。

（2）逻辑运算。在逻辑代数中，有与、或、非三种基本逻辑运算。表示逻辑运算的方法有多种，如语句描述、逻辑代数式、真值表、卡诺图等。

（3）逻辑函数。逻辑函数是由逻辑变量、常量通过运算符连接起来的代数式，同样可以用表格和图形的形式表示。

（4）逻辑代数。逻辑代数是研究逻辑函数运算和化简的一种数学系统；逻辑函数的运算和化简是数字电路课程的基础，也是数字电路分析和设计的关键。

二、三种基本逻辑运算

1. 与运算

图 1（a）表示一个简单与逻辑的电路：电压 V 通过开关 A 和 B 向灯泡 L 供电，只有 A 和 B 同时接通时灯泡 L 才亮；A 和 B 中只要有一个不接通或二者均不接通，灯泡 L 就不亮。由此可总结出与运算的逻辑关系。

语句描述：只有当一件事情（灯 L 亮）的几个条件（开关 A 与 B 都接通）全部具备之后，这件事情才会发生，这种关系称为与运算。

逻辑表达式：L = A·B。式中小圆点“·”表示 A、B 的与运算，又称逻辑乘；在不致引起混淆的前提下，乘号“·”可以省略。某些文献中也有用符号 ∧、∩ 表示与运算的。

（a）电路图　（c）用 0、1 表示的真值表

（b）真值表　（d）与逻辑门电路的符号

图 1　与逻辑运算

真值表：如果开关不通和灯不亮均用 0 表示，而开关接通和灯亮均用 1 表示，即得到图 1（c）所示的真值表。真值表的左边列出所有变量的全部取值组合，右边列出的是对应于 A、B 变量每种取值组合的输出。因为输入变量有两个，所以取值组合有 2² = 4 种；对于 n 个变量，应该有 2ⁿ 种取值组合。与运算的逻辑符号如图 1（d）所示，其中 A、B 为输入，L 为输出。

2. 或运算

图 2（a）表示一个简单的或逻辑电路：电压 V 通过开关 A 或 B 向灯泡供电，只要开关 A 或 B 接通或二者均接通，灯 L 就亮；而当 A 和 B 均不接通时，灯 L 不亮。由此可总结出或运算的逻辑关系。

语句描述：当一件事情（灯 L 亮）的几个条件（开关 A、B 接通）中只要有一个条件得到满足，这件事就会发生，这种关系称为或运算。

逻辑表达式：L = A + B。式中符号“+”表示 A、B 的或运算，又称逻辑加；在某些文献中，也用符号 ∨、∪ 来表示或运算。

（a）电路图　（c）用 0、1 表示的真值表

（b）真值表　（d）或逻辑门电路的符号

图 2　或逻辑运算

真值表：同与运算一样，用 0、1 表示的或逻辑真值表如图 2（c）所示。或运算的逻辑符号如图 2（d）所示，其中 A、B 表示输入，L 表示输出。

3. 非运算

如图 3（a）所示，电压 V 通过一个继电器触点向灯泡供电，NC 为继电器 A 的常闭触点：当 A 不通电时灯 L 亮，而当 A 通电时灯 L 不亮，其真值表如图 3（b）所示。由此可总结出非运算的逻辑关系。

语句描述：一件事情（灯亮）的发生是以其相反的条件为依据，这种逻辑关系为非运算。

逻辑表达式：L = ¬A。

（a）电路图　（b）真值表　（c）用 0、1 表示的真值表

图 3　非逻辑运算

真值表：若用 0 和 1 来表示继电器和灯泡的状态，可得图 3（c）所示的真值表。图中 A 不通电和灯不亮定义为 0 态，而 A 通电和灯亮定义为 1 态，显然 L 与 A 总是处于对立的逻辑状态。式中字母 A 上方的短划“－”表示非运算；在某些文献中，也用“～”或“┐”表示非运算。

逻辑符号：非运算逻辑符号如图 4（a）、（b）所示，其中图（a）为在输入端用小圆圈表示的非运算，图（b）为在输出端用小圆圈表示的非运算。

（a）在输入端用小圆圈表示非运算　（b）在输出端用小圆圈表示非运算

图 4　非逻辑门电路的符号

4. 三种基本逻辑运算小结

与、或逻辑运算都可以推广到多变量的情况：L = A·B·C…，L = A + B + C + …。其他逻辑运算都可用上述三种基本逻辑运算组合而成。表 1 列出了几种基本逻辑运算的函数式及其相应的逻辑门电路代表符号，以便于比较和应用。

表 1　基本逻辑运算函数式与逻辑门符号